מתמטריק
זוויות במרחב – בין ישרים, בין ישר ומישור, בין מישוריםוקטורים 572 · שיעור 35
וקטורים · שאלון 572

זוויות במרחב – בין ישרים, בין ישר ומישור, בין מישורים

פרק 9 – זוויות ומרחקים במרחב
1נוסח השאלה
2סעיף א – זווית בין שני ישרים
3סעיף ב – זווית בין ישר למישור
4סעיף ג – זווית בין שני מישורים
5סעיף ד – זווית עם מישור הצירים
📄 נוסח השאלה
נתונים הישרים ℓ1: x = (1 , 0 , 0) + t(1 , 1 , 0) , ℓ2: x = (0 , 1 , 0) + s(0 , 1 , 1)
והמישורים π1: x + y + z − 3 = 0 , π2: x − 2y + 2z = 0.
א. מצאו את הזווית בין הישרים ℓ1 ו־ℓ2.
ב. מצאו את הזווית בין הישר ℓ1 למישור π1.
ג. מצאו את הזווית בין המישורים π1 ו־π2.
ד. מצאו את הזווית בין הישר ℓ2 למישור xy (המישור z = 0).
סעיף א – זווית בין שני ישרים
u1 = (1 , 1 , 0) , u2 = (0 , 1 , 1)
u1 · u2 = 1 · 0 + 1 · 1 + 0 · 1 = 1
📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים
|u1| = √12 + 12 + 02 = √2
📐 אורך וקטור לפי שיעורים
|u2| = √02 + 12 + 12 = √2
cos(∡) = |u1 · u2||u1| · |u2|
📐 הזווית בין שני ישרים
נציב u1 · u2 = 1 , |u1| = √2 , |u2| = √2:
📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים
(x1 , y1 , z1) · (x2 , y2 , z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
📐 אורך וקטור לפי שיעורים
|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
📐 הזווית בין שני ישרים
cos(∡) = |u1 · u2||u1| · |u2|
סעיף א – זווית בין שני ישרים · המשך
נציב u1 · u2 = 1 , |u1| = √2 , |u2| = √2:
cos(∡) = 1√2 · √2 = 12
במחשבון: SHIFT cos (1 ÷ 2):
∡ = 60
✅ פתרון סופי: ∡ = 60 מעלות
סעיף ב – זווית בין ישר למישור
n = (1 , 1 , 1) , u1 = (1 , 1 , 0)
n · u1 = 1 + 1 + 0 = 2
📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים
|n| = √12 + 12 + 12 = √3
📐 אורך וקטור לפי שיעורים
sin(∡) = |n · u||n| · |u|
📐 הזווית בין ישר למישור
נציב n · u = 2 , |n| = √3 , |u| = √2:
sin(∡) = 2√3 · √2 = 2√6 ≈ 0.8165
📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים
(x1 , y1 , z1) · (x2 , y2 , z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
📐 אורך וקטור לפי שיעורים
|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
📐 הזווית בין ישר למישור
sin(∡) = |n · u||n| · |u|
סעיף ב – זווית בין ישר למישור · המשך
sin(∡) = 2√3 · √2 = 2√6 ≈ 0.8165
בזווית בין ישר למישור משתמשים ב־sin (הנורמל מאונך למישור). במחשבון: SHIFT sin:
∡ ≈ 54.74
✅ פתרון סופי: ∡ ≈ 54.74 מעלות
סעיף ג – זווית בין שני מישורים
n1 = (1 , 1 , 1) , n2 = (1 , −2 , 2)
n1 · n2 = 1 − 2 + 2 = 1
📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים
|n2| = √12 + (−2)2 + 22 = √9 = 3
📐 אורך וקטור לפי שיעורים
cos(∡) = |n1 · n2||n1| · |n2|
📐 הזווית בין שני מישורים
נציב n1 · n2 = 1 , |n1| = √3 , |n2| = 3:
cos(∡) = 1√3 · 3 ≈ 0.1925
📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים
(x1 , y1 , z1) · (x2 , y2 , z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
📐 אורך וקטור לפי שיעורים
|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
📐 הזווית בין שני מישורים
cos(∡) = |n1 · n2||n1| · |n2|
סעיף ג – זווית בין שני מישורים · המשך
cos(∡) = 1√3 · 3 ≈ 0.1925
במחשבון: SHIFT cos:
∡ ≈ 78.90
✅ פתרון סופי: ∡ ≈ 78.90 מעלות
סעיף ד – זווית עם מישור הצירים
למישור z = 0 (המישור xy) וקטור נורמל n = (0 , 0 , 1).
n · u2 = 0 · 0 + 0 · 1 + 1 · 1 = 1
📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים
sin(∡) = |n · u||n| · |u|
📐 הזווית בין ישר למישור
נציב n · u = 1 , |n| = 1 , |u| = √2:
sin(∡) = 11 · √2 = 1√2 ≈ 0.7071
במחשבון: SHIFT sin:
📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים
(x1 , y1 , z1) · (x2 , y2 , z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
📐 הזווית בין ישר למישור
sin(∡) = |n · u||n| · |u|
סעיף ד – זווית עם מישור הצירים · המשך
במחשבון: SHIFT sin:
∡ = 45
✅ פתרון סופי: ∡ = 45 מעלות

📌 סיכום התשובות

סעיף א
60 מעלות
סעיף ב
≈ 54.74 מעלות
סעיף ג
≈ 78.90 מעלות
סעיף ד
45 מעלות
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא